mateatleticos: marzo 2016

NÚMEROS COMPLEJOS (COMPLEMENTO)

INSTRUCCIONES: Realice cada uno de los incisos y las operaciones que solicita.

NOTA: Los valores fueron modificados para poder realizar los ejercicios completos.

Sea n =5.

Seaz_1=5+6i.

Sea z_2=4+3i.

Convierta a forma polar el resultado de las siguientes operaciones:

z_1,z_2,z_1/z_2 ,z_2/z_1 ,z_1^( n),z_2^( n).

Realice la operación polar de las siguientes operaciones:

z_1 z_2,z_1/z_2 ,z_1^( n),z_2^( n).

Realice las raíces n-esimas de z_1,z_2y sus gráficas.

OPERACIONES INCISO A:

Fórmula para obtener el radio, módulo:r=√(a^2+b^2 )

Valores de “a” y “b” en “z_1”: a = 5, b = 6

Sustitución de los valores en la fórmula:r=√((5)^2+(6)^2 )

Cálculos:(5)^2=(5)(5)=25

Cálculos:(6)^2=(6)(6)=36

Reducción:r=√(25+36)

El valor es:r=√61

Fórmula para obtener el ángulo:θ=〖tan〗^(-1)⁡〖(b/a)〗

Valores de “a” y “b” en “z_1”: a = 5, b= 6

Sustitución de los valores en la fórmula: θ=〖tan〗^(-1)⁡〖(6/5)〗

Cálculos:6/5=1.2

Reducción:θ=〖tan〗^(-1)⁡(1.2)

El valor es:θ=50.19≈50°

Forma polar:z_1=r[Cos(θ)+ iSen(θ)]

Sustitución de los valores “r” y “θ“en la fórmula.

La forma polar dez_1=√61[Cos(50°)+ iSen(50°)]

Fórmula para obtener el radio, módulo:r=√(a^2+b^2 )

Valores de “a” y “b” en “z_2”: a = 4, b = 3

Sustitución de los valores en la fórmula:r=√((4)^2+(3)^2 )

Cálculos:(4)^2=(4)(4)=16

Cálculos:(3)^2=(3)(3)=9

Reducción:r=√(16+9)= √25

El valor es:r=5

Fórmula para obtener el ángulo:θ=〖tan〗^(-1)⁡〖(b/a)〗

Valores de “a” y “b” en “z_2”: a = 4, b= 3

Sustitución de los valores en la fórmula: θ=〖tan〗^(-1)⁡〖(3/4)〗

Cálculos:6/5=0.75

Reducción:θ=〖tan〗^(-1)⁡(0.75)

El valor es:θ=36.86≈37°

Forma polar:z_2=r[Cos(θ)+ iSen(θ)]

Sustitución de los valores “r” y “θ“en la fórmula.

La forma polar dez_2=5[Cos(37°)+ iSen(37°)]

Realiza la operación:z_1/z_2

Se obtiene el conjugado dez_2 = (z_2 ) ⃑ = 4-3i

Se realiza la operación:z_1/z_2 ((z_2 ) ⃑/(z_2 ) ⃑ )

Se sustituyen los valores en la fórmula: (5+6i(4-3i))/(4+3i(4-3i))

Operación del producto superior:5+6i (4-3i)=20-15i+24i-18i^2

Operación del producto inferior:

Nota: se puede apreciar una diferencia de cuadrados por lo que podemos simplificar la expresión 4+3i(4-3i) elevando al cuadrado los valores “a” y “b” de la siguiente manera: (4)^2+(3)^2.

Sustituyendo lo obtenido tenemos:(20-15i+24i-18i^2)/((4)^2+(3)^2 )=(20+9i-18i^2)/(16+9)

Para reducir las i elevadas a potencias se utiliza la regla de imaginarios de la siguiente manera:

i^0=1 i^1=i i^2=-1 i^3=-i

Imagen 1.1

Nota: Para calcular la potencia ia un número mayor, por ejemplo i^6se descompone la potencia:i^3 i^3multiplicando sus valores correspondientesi^3es igual a - i por lo tanto la potencia dei^6=i^3 i^3=(-i)(-i)= i

Sustituyendo los valores correspondientes ai tenemos:

(20+9i-18i^2)/(16+9)= (20+9i-18(-1))/(16+9)= (20+9i+18)/(16+9)=(38+9i)/25

Realiza la operación:z_2/z_1

Se obtiene el conjugado dez_1 = (z_1 ) ⃑ = 5-6i

Se realiza la operación:z_2/z_1 ((z_1 ) ⃑/(z_1 ) ⃑ )

Se sustituyen los valores en la fórmula: (4+3i(5-6i))/(5+6i(5-6i))

Operación del producto superior: 4+3i (5-6i)=20-24i+15i-18i^2

Operación del producto inferior:

Nota: se puede apreciar una diferencia de cuadrados por lo que podemos simplificar la expresión 5+6i(5-6i) elevando al cuadrado los valores “a” y “b” de la siguiente manera: (5)^2+(6)^2.

Sustituyendo lo obtenido tenemos:(20-24i+15i-18i^2)/((4)^2+(3)^2 )=(20-9i-18i^2)/(25+36)

Sustituyendo los valores correspondientes a i(imagen 1.1) tenemos:

(20-9i-18i^2)/(25+36)= (20-9i-18(-1))/(25+36)= (20-9i+18)/(25+36)=(38-9i)/61

Realiza la operación:z_1^( n) = z_1^( 5)

Se utiliza el triángulo de pascal:

Imagen 2.1

El triángulo nos indica que “z” a la n= 5, debe ser:

(a+b)=(a)^5+5(a)^4 (b)+10(a)^3 (b)^2+10(a)^2 (b)^3+5(a) (b)^4+(b)^5

Operación: z_1^( 5)=( 5+6i)^5

Valores de: a = 5, b = 6

Sustitución de los valores en la fórmula:

(5)^5+5(5)^4 (6i)+10(5)^3 (6i)^2+10(5)^2 (6i)^3+5(5) (6i)^4+(6i)^5

Reemplazar los valores de iconforme a la imagen 1.1:

(5)^5+5(5)^4 (6i)+10(5)^3 (6)^2 (-1)+10(5)^2 (6)^3 (-i)

+5(5) (6)^4 (1)+(6)^5 (i)

Realizar la operación de las potencias:

3125+5(625)(6i)+10(125)(36)(-1)+10(25)(216)(-i)

+5(5)(1296)(1)+7776(i)

Realizar la operación de las multiplicaciones:

Quedando:

3125+18750i-45000-54000i+32400+7776i

Realizar las operaciones suma y resta:

El valor dez_1^( 5)= -9475-27474i

Operación: z_2^( 5)=( 4+3i)^5

Valores de: a = 4, b = 3

Sustitución de los valores en la fórmula:

(4)^5+5(4)^4 (3i)+10(4)^3 (3i)^2+10(4)^2 (3i)^3+5(4) (3i)^4+(3i)^5

Reemplazar los valores de iconforme a la imagen 1.1:

(4)^5+5(4)^4 (3i)+10(4)^3 (3)^2 (-1)+10(4)^2 (3)^3 (-i)

+5(4) (3)^4 (1)+(3)^5 (i)

Realizar la operación de las potencias:

1024+5(256)(3i)+10(64)(9)(-1)

+10(16)(27)(-i)+5(4)(81)(1)+243(i)

Realizar la operación de las multiplicaciones:

Quedando:

1024+3840i-5760-4320i+1620+243i

Realizar las operaciones suma y resta:

El valor dez_2^( 5)= -3116-237i

OPERACIONES INCISO C:

z_1=5+6i

Fórmula para obtener el radio, módulo:r=√(a^2+b^2 )

Valores de “a” y “b” en “z_1”: a = 5, b = 6

Sustitución de los valores en la fórmula:r=√((5)^2+(6)^2 )

Cálculos:(5)^2=(5)(5)=25

Cálculos:(6)^2=(6)(6)=36

Reducción:r=√(25+36)

El valor es:r=√61

Fórmula para obtener el ángulo:θ=〖tan〗^(-1)⁡〖(b/a)〗

Valores de “a” y “b” en “z_1”: a = 5, b= 6

Sustitución de los valores en la fórmula: θ=〖tan〗^(-1)⁡〖(6/5)〗

Cálculos:6/5=1.2

Reducción:θ=〖tan〗^(-1)⁡(1.2)

El valor es:θ=50.19≈50°

Fórmula para raíz n-esima: W_K= r^(1/n) [Cos((θ+2Kπ)/n)+iSen((θ+2Kπ)/n)

El valor de n = 5.

NOTA: El valor inicial de K siempre iniciara en 0 y terminará en el valor de n, en este caso su valor es 5, es decir, el valor de K será de 0, 1, 2, 3, 4 y 5.

El valor deπ = 180

Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula:

W_0= 〖√61〗^(1/5) [Cos((50+2(0)180)/5)+iSen((50+2(0)180)/5)]

Se aplica ley de radicales, y se realiza la multiplicación:

W_0= √(5&61)[Cos(50/5)+iSen(50/5)]

Se realiza la división:

W_0= √(5&61)[Cos(10)+iSen(10)]

W_0=10°

Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula, incrementando K + 1:

W_1= √(5&61)[Cos((50+2(1)180)/5)+iSen((50+2(1)180)/5)]

Se realiza la multiplicación:

W_1= √(5&61)[Cos(410/5)+iSen(410/5)]

Se realiza la división:

W_1= √(5&61)[Cos(10)+iSen(10)]

W_1=82°

Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula, incrementando K + 1:

W_2= √(5&61)[Cos((50+2(2)180)/5)+iSen((50+2(2)180)/5)]

Se realiza la multiplicación:

W_2= √(5&61)[Cos(770/5)+iSen(770/5)]

Se realiza la división:

W_2= √(5&61)[Cos(154)+iSen(154)]

W_2=154°

Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula, incrementando K + 1:

W_3= √(5&61)[Cos((50+2(3)180)/5)+iSen((50+2(3)180)/5)]

Se realiza la multiplicación:

W_3= √(5&61)[Cos(1130/5)+iSen(1130/5)]

Se realiza la división:

W_3= √(5&61)[Cos(226)+iSen(226)]

W_3=226°

Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula, incrementando K + 1:

W_4= √(5&61)[Cos((50+2(4)180)/5)+iSen((50+2(4)180)/5)]

Se realiza la multiplicación:

W_4= √(5&61)[Cos(1490/5)+iSen(1490/5)]

Se realiza la división:

W_4= √(5&61)[Cos(298)+iSen(298)]

W_4=298°

Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula, incrementando K + 1:

W_5= √(5&61)[Cos((50+2(5)180)/5)+iSen((50+2(5)180)/5)]

Se realiza la multiplicación:

W_5= √(5&61)[Cos(1850/5)+iSen(1850/5)]

Se realiza la división:

W_5= √(5&61)[Cos(370)+iSen(370)]

W_5=370°

NOTA: Con el valor final de “W” se verifica que se regresa al valor de origen que fue (10°). W_5=370°-360°=10°

OPERACIONES INCISO C:

z_2=4+3i

Fórmula para obtener el radio, módulo:r=√(a^2+b^2 )

Valores de “a” y “b” en “z_1”: a = 4, b = 3

Sustitución de los valores en la fórmula:r=√((4)^2+(3)^2 )

Cálculos:(4)^2=(4)(4)=16

Cálculos:(3)^2=(3)(3)=9

Reducción:r=√(16+9)=√25

El valor es:r=5

Fórmula para obtener el ángulo:θ=〖tan〗^(-1)⁡〖(b/a)〗

Valores de “a” y “b” en “z_2”: a = 4, b= 3

Sustitución de los valores en la fórmula: θ=〖tan〗^(-1)⁡〖(3/4)〗

Cálculos:3/4=0.75

Reducción:θ=〖tan〗^(-1)⁡(0.75)

El valor es:θ=36.86≈37°

Fórmula para raíz n-esima: W_K= r^(1/n) [Cos((θ+2Kπ)/n)+iSen((θ+2Kπ)/n)

El valor de n = 5.

NOTA: El valor inicial de K siempre iniciara en 0 y terminará en el valor de n, en este caso su valor es 5, es decir, el valor de K será de 0, 1, 2, 3, 4 y 5.

El valor deπ = 180

Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula:

W_0= 5^(1/5) [Cos((37+2(0)180)/5)+iSen((37+2(0)180)/5)]

Se realiza la multiplicación:

W_0= 5^(1/5) [Cos(37/5)+iSen(37/5)]

Se realiza la división:

W_0= 5^(1/5) [Cos(7.4)+iSen(7.4)]

W_0=7°

Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula, incrementando K + 1:

W_1= 5^(1/5) [Cos((37+2(1)180)/5)+iSen((37+2(1)180)/5)]

Se realiza la multiplicación:

W_1= 5^(1/5) [Cos(397/5)+iSen(397/5)]

Se realiza la división:

W_1= 5^(1/5) [Cos(79.4)+iSen(79.4)]

W_1=79°

Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula, incrementando K + 1:

W_2= 5^(1/5) [Cos((37+2(2)180)/5)+iSen((37+2(2)180)/5)]

Se realiza la multiplicación:

W_2= 5^(1/5) [Cos(757/5)+iSen(757/5)]

Se realiza la división:

W_2= 5^(1/5) [Cos(151.4)+iSen(151.4)]

W_2=151°

Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula, incrementando K + 1:

W_3= 5^(1/5) [Cos((37+2(3)180)/5)+iSen((37+2(3)180)/5)]

Se realiza la multiplicación:

W_3= 5^(1/5) [Cos(1117/5)+iSen(1117/5)]

Se realiza la división:

W_3= 5^(1/5) [Cos(223.4)+iSen(223.4)]

W_3=223°

Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula, incrementando K + 1:

W_4= 5^(1/5) [Cos((37+2(4)180)/5)+iSen((37+2(4)180)/5)]

Se realiza la multiplicación:

W_4= 5^(1/5) [Cos(1477/5)+iSen(1477/5)]

Se realiza la división:

W_4= 5^(1/5) [Cos(295.4)+iSen(295.4)]

W_4=295°

Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula, incrementando K + 1:

W_5= 5^(1/5) [Cos((37+2(5)180)/5)+iSen((37+2(5)180)/5)]

Se realiza la multiplicación:

W_5= 5^(1/5) [Cos(1837/5)+iSen(1837/5)]

Se realiza la división:

W_5= 5^(1/5) [Cos(367.4)+iSen(367.4)]

W_5=367°

NOTA: Con el valor final de “W” se verifica que se regresa al valor de origen que fue (7°). W_5=367°-360°=7°

NUMEROS-COMPLEJOS PRACTICA 1

EJERCICIO 1

SUMA Y RESTA

PRODUCTO

DIVICION

POTENCIA

MODULOS

EJERCICIO 2

SUMA Y RESTA

PRODUCTO

DIVICION

POTENCIA

MODULOS

EJERCICIO INDIVIDUAL-2-ALUMNO

Realizar operaciones con números complejos

Suma la fecha de tu nacimiento a un solo digito para sacar el valor de “A”

El producto de los dígitos del día de hoy para el resultado de “B”

La resta entre la letra “A” y “B” para el resultado de “C”

B/2 redondeado a entero próximo para el resultado de “D”

Para obtener la potencia es restarle uno a “A” en caso de ser menor a 3 entonces utilizar la potencia 3

la forma de las operaciones es la siguiente:

Entonces sustituyendo valores queda:

OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS

REALIZAR LA SIGUIENTES OPERACIONES CON NUMEROS COMLEJOS DE “Z1” Y “Z2”

1.-SUMA

2.-RESTA:

3.-PRODUCTO:

4.-DIVISION:

5.-POTENCIA:

Operaciones en forma polar de “z1” y “z2”

Realizar las siguientes operaciones de “z1”y ”z2” en forma polar.

UNA VEZ RELAIZADO LA OPERCION PARA TENER EL RESULTADO DE EL RADIO HAY QUE OBTENER EL ANGULO

1.-SUMA

2.-RESTA

3.-PRODUCTO

4.-DIVISION

5.-POTENCIA

RAICES N-ESIMAS “Z1” Y “Z2” Y SUS GRAFICAS

“Z1”

“Z2”

EJERCICIO INDIVIDUAL

NÚMEROS COMPLEJOS

INSTRUCCIONES: Realice cada uno de los incisos y las operaciones que solicita.

Sea

.
Sea

a) El valor a, se obtiene de la suma de cada uno de los dígitos de tu fecha de nacimiento.

b) El valor b, se obtiene mediante el producto de los dígitos del día.

c) El valor c, se obtiene de la diferencia de a-b.

d) El valor d, se obtiene del cociente de

redondeado al entero próximo
(

redondeado a 1).

e) El valor n, en caso de ser menor a 3 utilizar n = 3.

INCISO A:

Mi fecha de nacimiento es: 03 de Octubre de 1995 (03/10/1995)
Sumatoria: 0 + 3 + 1 + 0 + 1 + 9 + 9 + 5 = 28
Reducción: 2 + 8 = 10
Reducción: 1 + 0 = 1

El valor de a=1

INCISO B:

La fecha del día de hoy es: 11 de Febrero del 2016
Valor del día: 11
Producto de los valores del día: 1 x 1 = 1

El valor de b= 1

INCISO C:

Diferencia de a – b.
Sustitución de los valores: 1 – 1 = 0

El valor de c=0

INCISO D:

Cociente de

Sustitución del valor b:

= 0

El valor de d=0

INCISO E:

La suma de a+1.
Sustitución de valores: 1 + 1 = 2
El valor de n es menor a 3, por lo tanto será:

El valor n = 3

SUSTITUCION DE VALORES

1) Sea

Sustitución de los valores:

2) Sea

Sustitución de los valores:

3) Sea

Sustitución de los valores:

INSTRUCCIONES: Realice cada uno de los incisos y las operaciones:

a) Convierta a forma polar el resultado de las siguientes operaciones:

b) Realice la operación polar de las siguientes operaciones:

c) Realice las raíces n-esimas de

y sus gráficas.

OPERACIONES INCISO A:

Fórmula para obtener el radio:

Valores de “a” y “b” en “

”: a=1, b=1
Sustitución de los valores en la fórmula:

Cálculos:

Reducción:

El valor es:

Fórmula para obtener el ángulo:

Valores de “a” y “b” en “

”: a=1, b=1
Sustitución de los valores en la fórmula:

Cálculos:

Reducción:

El valor es:

Forma polar:

Sustitución de los valores “r” y “

“en la fórmula.
La forma polar de

Realiza la operación:

Se utiliza el triángulo de pascal:

El triángulo nos indica que “z” a la n= 3, debe ser:

Operación:

Valores de: a = 1, b = 1
Sustitución de los valores en la fórmula:

Valores de

Reemplazar los valores de

Realizar la operación de las potencias:
Dónde:

Dónde:

Quedando:

Realizar la operación de las multiplicaciones:
Dónde:

Dónde:

Quedando:

El valor de

OPERACIONES INCISO B:

Fórmula para obtener el radio:

Valores de “a” y “b” en “

”: a=1, b=1
Sustitución de los valores en la fórmula:

Cálculos:

Reducción:

El valor es:

Fórmula para obtener el ángulo:

Valores de “a” y “b” en “

”: a=1, b=1
Sustitución de los valores en la fórmula:

Cálculos:

Reducción:

El valor es:

Fórmula para forma polar

Sustitución de los valores “n”, “r” y “

“en la fórmula.
Quedando:

Usamos ley de radicales:

Quedando la raíz

Realizamos la potencia:

Quedando la raíz:

Usamos nuevamente ley de radicales:

El resultado de

OPERACIONES INCISO C:

Fórmula para obtener el radio:

Valores de “a” y “b” en “

”: a=1, b=1
Sustitución de los valores en la fórmula:

Cálculos:

Reducción:

El valor es:

Fórmula para obtener el ángulo:

Valores de “a” y “b” en “

”: a=1, b=1
Sustitución de los valores en la fórmula:

Cálculos:

Reducción:

El valor es:

El valor de n = 3

Fórmula para raíz n-esima:

El valor de n = 3.
El valor inicial de K siempre iniciara en 0 y terminará en el valor de n, en este caso su valor es 3, es decir, el valor de K será de 0, 1, 2 y 3.
El valor de