NÚMEROS COMPLEJOS (COMPLEMENTO)
INSTRUCCIONES: Realice cada uno de los incisos y las operaciones que solicita.
NOTA: Los valores fueron modificados para poder realizar los ejercicios completos.
Sea n =5.
Seaz_1=5+6i.
Sea z_2=4+3i.
Convierta a forma polar el resultado de las siguientes operaciones:
z_1,z_2,z_1/z_2 ,z_2/z_1 ,z_1^( n),z_2^( n).
Realice la operación polar de las siguientes operaciones:
z_1 z_2,z_1/z_2 ,z_1^( n),z_2^( n).
Realice las raíces n-esimas de z_1,z_2y sus gráficas.
OPERACIONES INCISO A:
Fórmula para obtener el radio, módulo:r=√(a^2+b^2 )
Valores de “a” y “b” en “z_1”: a = 5, b = 6
Sustitución de los valores en la fórmula:r=√((5)^2+(6)^2 )
Cálculos:(5)^2=(5)(5)=25
Cálculos:(6)^2=(6)(6)=36
Reducción:r=√(25+36)
El valor es:r=√61
Fórmula para obtener el ángulo:θ=〖tan〗^(-1)〖(b/a)〗
Valores de “a” y “b” en “z_1”: a = 5, b= 6
Sustitución de los valores en la fórmula: θ=〖tan〗^(-1)〖(6/5)〗
Cálculos:6/5=1.2
Reducción:θ=〖tan〗^(-1)(1.2)
El valor es:θ=50.19≈50°
Forma polar:z_1=r[Cos(θ)+ iSen(θ)]
Sustitución de los valores “r” y “θ“en la fórmula.
La forma polar dez_1=√61[Cos(50°)+ iSen(50°)]
Fórmula para obtener el radio, módulo:r=√(a^2+b^2 )
Valores de “a” y “b” en “z_2”: a = 4, b = 3
Sustitución de los valores en la fórmula:r=√((4)^2+(3)^2 )
Cálculos:(4)^2=(4)(4)=16
Cálculos:(3)^2=(3)(3)=9
Reducción:r=√(16+9)= √25
El valor es:r=5
Fórmula para obtener el ángulo:θ=〖tan〗^(-1)〖(b/a)〗
Valores de “a” y “b” en “z_2”: a = 4, b= 3
Sustitución de los valores en la fórmula: θ=〖tan〗^(-1)〖(3/4)〗
Cálculos:6/5=0.75
Reducción:θ=〖tan〗^(-1)(0.75)
El valor es:θ=36.86≈37°
Forma polar:z_2=r[Cos(θ)+ iSen(θ)]
Sustitución de los valores “r” y “θ“en la fórmula.
La forma polar dez_2=5[Cos(37°)+ iSen(37°)]
Realiza la operación:z_1/z_2
Se obtiene el conjugado dez_2 = (z_2 ) ⃑ = 4-3i
Se realiza la operación:z_1/z_2 ((z_2 ) ⃑/(z_2 ) ⃑ )
Se sustituyen los valores en la fórmula: (5+6i(4-3i))/(4+3i(4-3i))
Operación del producto superior:5+6i (4-3i)=20-15i+24i-18i^2
Operación del producto inferior:
Nota: se puede apreciar una diferencia de cuadrados por lo que podemos simplificar la expresión 4+3i(4-3i) elevando al cuadrado los valores “a” y “b” de la siguiente manera: (4)^2+(3)^2.
Sustituyendo lo obtenido tenemos:(20-15i+24i-18i^2)/((4)^2+(3)^2 )=(20+9i-18i^2)/(16+9)
Para reducir las i elevadas a potencias se utiliza la regla de imaginarios de la siguiente manera:
i^0=1 i^1=i i^2=-1 i^3=-i
Imagen 1.1
Nota: Para calcular la potencia ia un número mayor, por ejemplo i^6se descompone la potencia:i^3 i^3multiplicando sus valores correspondientesi^3es igual a - i por lo tanto la potencia dei^6=i^3 i^3=(-i)(-i)= i
Sustituyendo los valores correspondientes ai tenemos:
(20+9i-18i^2)/(16+9)= (20+9i-18(-1))/(16+9)= (20+9i+18)/(16+9)=(38+9i)/25
Realiza la operación:z_2/z_1
Se obtiene el conjugado dez_1 = (z_1 ) ⃑ = 5-6i
Se realiza la operación:z_2/z_1 ((z_1 ) ⃑/(z_1 ) ⃑ )
Se sustituyen los valores en la fórmula: (4+3i(5-6i))/(5+6i(5-6i))
Operación del producto superior: 4+3i (5-6i)=20-24i+15i-18i^2
Operación del producto inferior:
Nota: se puede apreciar una diferencia de cuadrados por lo que podemos simplificar la expresión 5+6i(5-6i) elevando al cuadrado los valores “a” y “b” de la siguiente manera: (5)^2+(6)^2.
Sustituyendo lo obtenido tenemos:(20-24i+15i-18i^2)/((4)^2+(3)^2 )=(20-9i-18i^2)/(25+36)
Sustituyendo los valores correspondientes a i(imagen 1.1) tenemos:
(20-9i-18i^2)/(25+36)= (20-9i-18(-1))/(25+36)= (20-9i+18)/(25+36)=(38-9i)/61
Realiza la operación:z_1^( n) = z_1^( 5)
Se utiliza el triángulo de pascal:
Imagen 2.1
El triángulo nos indica que “z” a la n= 5, debe ser:
(a+b)=(a)^5+5(a)^4 (b)+10(a)^3 (b)^2+10(a)^2 (b)^3+5(a) (b)^4+(b)^5
Operación: z_1^( 5)=( 5+6i)^5
Valores de: a = 5, b = 6
Sustitución de los valores en la fórmula:
(5)^5+5(5)^4 (6i)+10(5)^3 (6i)^2+10(5)^2 (6i)^3+5(5) (6i)^4+(6i)^5
Reemplazar los valores de iconforme a la imagen 1.1:
(5)^5+5(5)^4 (6i)+10(5)^3 (6)^2 (-1)+10(5)^2 (6)^3 (-i)
+5(5) (6)^4 (1)+(6)^5 (i)
Realizar la operación de las potencias:
3125+5(625)(6i)+10(125)(36)(-1)+10(25)(216)(-i)
+5(5)(1296)(1)+7776(i)
Realizar la operación de las multiplicaciones:
Quedando:
3125+18750i-45000-54000i+32400+7776i
Realizar las operaciones suma y resta:
El valor dez_1^( 5)= -9475-27474i
Operación: z_2^( 5)=( 4+3i)^5
Valores de: a = 4, b = 3
Sustitución de los valores en la fórmula:
(4)^5+5(4)^4 (3i)+10(4)^3 (3i)^2+10(4)^2 (3i)^3+5(4) (3i)^4+(3i)^5
Reemplazar los valores de iconforme a la imagen 1.1:
(4)^5+5(4)^4 (3i)+10(4)^3 (3)^2 (-1)+10(4)^2 (3)^3 (-i)
+5(4) (3)^4 (1)+(3)^5 (i)
Realizar la operación de las potencias:
1024+5(256)(3i)+10(64)(9)(-1)
+10(16)(27)(-i)+5(4)(81)(1)+243(i)
Realizar la operación de las multiplicaciones:
Quedando:
1024+3840i-5760-4320i+1620+243i
Realizar las operaciones suma y resta:
El valor dez_2^( 5)= -3116-237i
OPERACIONES INCISO C:
z_1=5+6i
Fórmula para obtener el radio, módulo:r=√(a^2+b^2 )
Valores de “a” y “b” en “z_1”: a = 5, b = 6
Sustitución de los valores en la fórmula:r=√((5)^2+(6)^2 )
Cálculos:(5)^2=(5)(5)=25
Cálculos:(6)^2=(6)(6)=36
Reducción:r=√(25+36)
El valor es:r=√61
Fórmula para obtener el ángulo:θ=〖tan〗^(-1)〖(b/a)〗
Valores de “a” y “b” en “z_1”: a = 5, b= 6
Sustitución de los valores en la fórmula: θ=〖tan〗^(-1)〖(6/5)〗
Cálculos:6/5=1.2
Reducción:θ=〖tan〗^(-1)(1.2)
El valor es:θ=50.19≈50°
Fórmula para raíz n-esima: W_K= r^(1/n) [Cos((θ+2Kπ)/n)+iSen((θ+2Kπ)/n)
El valor de n = 5.
NOTA: El valor inicial de K siempre iniciara en 0 y terminará en el valor de n, en este caso su valor es 5, es decir, el valor de K será de 0, 1, 2, 3, 4 y 5.
El valor deπ = 180
Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula:
W_0= 〖√61〗^(1/5) [Cos((50+2(0)180)/5)+iSen((50+2(0)180)/5)]
Se aplica ley de radicales, y se realiza la multiplicación:
W_0= √(5&61)[Cos(50/5)+iSen(50/5)]
Se realiza la división:
W_0= √(5&61)[Cos(10)+iSen(10)]
W_0=10°
Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula, incrementando K + 1:
W_1= √(5&61)[Cos((50+2(1)180)/5)+iSen((50+2(1)180)/5)]
Se realiza la multiplicación:
W_1= √(5&61)[Cos(410/5)+iSen(410/5)]
Se realiza la división:
W_1= √(5&61)[Cos(10)+iSen(10)]
W_1=82°
Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula, incrementando K + 1:
W_2= √(5&61)[Cos((50+2(2)180)/5)+iSen((50+2(2)180)/5)]
Se realiza la multiplicación:
W_2= √(5&61)[Cos(770/5)+iSen(770/5)]
Se realiza la división:
W_2= √(5&61)[Cos(154)+iSen(154)]
W_2=154°
Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula, incrementando K + 1:
W_3= √(5&61)[Cos((50+2(3)180)/5)+iSen((50+2(3)180)/5)]
Se realiza la multiplicación:
W_3= √(5&61)[Cos(1130/5)+iSen(1130/5)]
Se realiza la división:
W_3= √(5&61)[Cos(226)+iSen(226)]
W_3=226°
Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula, incrementando K + 1:
W_4= √(5&61)[Cos((50+2(4)180)/5)+iSen((50+2(4)180)/5)]
Se realiza la multiplicación:
W_4= √(5&61)[Cos(1490/5)+iSen(1490/5)]
Se realiza la división:
W_4= √(5&61)[Cos(298)+iSen(298)]
W_4=298°
Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula, incrementando K + 1:
W_5= √(5&61)[Cos((50+2(5)180)/5)+iSen((50+2(5)180)/5)]
Se realiza la multiplicación:
W_5= √(5&61)[Cos(1850/5)+iSen(1850/5)]
Se realiza la división:
W_5= √(5&61)[Cos(370)+iSen(370)]
W_5=370°
NOTA: Con el valor final de “W” se verifica que se regresa al valor de origen que fue (10°). W_5=370°-360°=10°
OPERACIONES INCISO C:
z_2=4+3i
Fórmula para obtener el radio, módulo:r=√(a^2+b^2 )
Valores de “a” y “b” en “z_1”: a = 4, b = 3
Sustitución de los valores en la fórmula:r=√((4)^2+(3)^2 )
Cálculos:(4)^2=(4)(4)=16
Cálculos:(3)^2=(3)(3)=9
Reducción:r=√(16+9)=√25
El valor es:r=5
Fórmula para obtener el ángulo:θ=〖tan〗^(-1)〖(b/a)〗
Valores de “a” y “b” en “z_2”: a = 4, b= 3
Sustitución de los valores en la fórmula: θ=〖tan〗^(-1)〖(3/4)〗
Cálculos:3/4=0.75
Reducción:θ=〖tan〗^(-1)(0.75)
El valor es:θ=36.86≈37°
Fórmula para raíz n-esima: W_K= r^(1/n) [Cos((θ+2Kπ)/n)+iSen((θ+2Kπ)/n)
El valor de n = 5.
NOTA: El valor inicial de K siempre iniciara en 0 y terminará en el valor de n, en este caso su valor es 5, es decir, el valor de K será de 0, 1, 2, 3, 4 y 5.
El valor deπ = 180
Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula:
W_0= 5^(1/5) [Cos((37+2(0)180)/5)+iSen((37+2(0)180)/5)]
Se realiza la multiplicación:
W_0= 5^(1/5) [Cos(37/5)+iSen(37/5)]
Se realiza la división:
W_0= 5^(1/5) [Cos(7.4)+iSen(7.4)]
W_0=7°
Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula, incrementando K + 1:
W_1= 5^(1/5) [Cos((37+2(1)180)/5)+iSen((37+2(1)180)/5)]
Se realiza la multiplicación:
W_1= 5^(1/5) [Cos(397/5)+iSen(397/5)]
Se realiza la división:
W_1= 5^(1/5) [Cos(79.4)+iSen(79.4)]
W_1=79°
Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula, incrementando K + 1:
W_2= 5^(1/5) [Cos((37+2(2)180)/5)+iSen((37+2(2)180)/5)]
Se realiza la multiplicación:
W_2= 5^(1/5) [Cos(757/5)+iSen(757/5)]
Se realiza la división:
W_2= 5^(1/5) [Cos(151.4)+iSen(151.4)]
W_2=151°
Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula, incrementando K + 1:
W_3= 5^(1/5) [Cos((37+2(3)180)/5)+iSen((37+2(3)180)/5)]
Se realiza la multiplicación:
W_3= 5^(1/5) [Cos(1117/5)+iSen(1117/5)]
Se realiza la división:
W_3= 5^(1/5) [Cos(223.4)+iSen(223.4)]
W_3=223°
Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula, incrementando K + 1:
W_4= 5^(1/5) [Cos((37+2(4)180)/5)+iSen((37+2(4)180)/5)]
Se realiza la multiplicación:
W_4= 5^(1/5) [Cos(1477/5)+iSen(1477/5)]
Se realiza la división:
W_4= 5^(1/5) [Cos(295.4)+iSen(295.4)]
W_4=295°
Se realiza la sustitución de cada valor en la fórmula, incrementando K + 1:
W_5= 5^(1/5) [Cos((37+2(5)180)/5)+iSen((37+2(5)180)/5)]
Se realiza la multiplicación:
W_5= 5^(1/5) [Cos(1837/5)+iSen(1837/5)]
Se realiza la división:
W_5= 5^(1/5) [Cos(367.4)+iSen(367.4)]
W_5=367°
NOTA: Con el valor final de “W” se verifica que se regresa al valor de origen que fue (7°). W_5=367°-360°=7°
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