UNIDAD III - ESPACIOS VECTORIALES

Un espacio vectorial es aquel que tiene definidas dos operaciones que son la suma y producto por un escalar, se derivan de estas operaciones las siguientes propiedades:

Donde:

Dados los elementos del espacio x1, x2, x3.....xN. Y escalares a, b, c, d....

1) Si (Espacio Vectorial)

UNIDAD III - RANGO DE UN SISTEMA

El rango de un sistema de ecuaciones se define como:

El número de renglones distintos de cero.

Para verificar la condición anterior se tiene que realizar primeramente la determinante de nuestro sistema, apoyándonos mediante una matriz.

Posteriormente se verifica:

Si el determinante es diferente a 0:

- Todos los renglones son independientes y el sistema tiene solución.
- Sistema consistente.

- Rango = Numero de renglones. - Puede resolver el sistema por el método que le parezca mas cómodo.

Si el determinante es igual a 0:

- Diagonalizar la matriz.
- Sistema inconsistente.

- Rango = Numero de renglones - Numero de renglones iguales a 0.

- La solución del sistema se hace una vez diagonalizada la matriz: 

 Se dice que es una incongruencia, por lo que no tiene solución el sistema.

 Se dice que el sistema tiene una infinidad de soluciones.

EJEMPLO:

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

Obtenemos la matriz del sistema planteado:

Obtenemos el determinante de esta matriz, utilizando el método por menores:

De primer momento podemos deducir, que alguno de los renglones de este sistema son saldrán 0.

Y que el sistema es inconsistente, por lo que habrá que diagonalizarla.

 Multiplicamos, renglón 2 (R2) por -2 y Sumamos el renglón 3 (R3) reemplazando R3

 Terminamos las operaciones aquí, ya que no se puede continuar.

Finalmente interpretamos:

El sistema es inconsistente.
Su rango es de 2.

Y debido a la incongruencia el sistema no tiene solución.

NOTA: Si no manejas del todo el método de diagonalización, te invitamos a revisar nuestra entrada: Diagonalización de matrices.

UNIDAD III - METODO CRAMER

UNIDAD III - METODO GAUSS

El método de solución de un sistema de ecuaciones utilizando Gauss es mucho mas rápido y hasta cierto punto mas eficiente.

El método en concreto consiste en diagonalizar la matriz resultante del sistema de ecuaciones, dando los resultados en forma de "escalera" y de manera directa.

NOTA: Recordemos que la palabra diagonalizar, hace referencia al proceso de:
Lograr en la diagonal principal de la matriz, valores numéricos 1, y en el resto de sus posiciones 0.

Observemos un ejemplo.

SOLUCIÓN POR DIAGONALIZACIÓN

Suponga el sistema de ecuaciones:

Formaremos una matriz tomando solo los valores numéricos del sistema sin su incógnita,  es decir:

NOTA: La linea que parte a la matriz, nos indica que valores están contenidos después de la igualación.

Lo que haremos ahora sera mediante operaciones de suma o multiplicaciones, colocar en la diagonal principal (marcada en verde) valores 1.

NOTA: Observe que los valores después de la linea que parte a la matriz serán alterados por las operaciones que realicemos a la izquierda de esta.

 La  primera operación sera multiplicar el primer renglón (R1) por 1/2.

 Lo siguiente sera multiplicar R1 por (-) y Sumarle el renglon 2 (R2) y modificamos R2.

 Ahora multiplicamos R2 por -2/3 y remplazamos su valor.

 Multiplicamos R2 por -1/2 y le Sumamos el R1, modificando a R1.

 Ya tenemos los valores deseados, aquí finalizamos las operaciones.

¿Como interpretamos este resultado?
Lo único que habrá que hacer es sustituir de regreso los valores que tomamos a un inicio, es decir, le regresamos sus incógnitas a los valores:

Y despejamos:

Comprobamos los resultados, sustituyendo los valores de las incógnitas en ambas ecuaciones del sistema:

NOTA: Si aun no entiendes muy bien como es el proceso de diagonalización de una matriz, te invitamos a mirar nuestra entrada: Diagonalización de matrices.

UNIDAD III - SISTEMA DE ECUACIONES

Para resolver un sistema de ecuaciones mediante la utilización de matrices, es necesario conocer los distintos métodos de solución.

En calculo diferencial, los mas utilizados son: método por sustitución, igualación, o eliminación; según el mas cómodo a tu elección.

SOLUCIÓN POR MATRIZ

Suponga el sistema de ecuaciones siguiente:

Se procede a separar el sistema, concreta-mente en 3 matrices:

La primera considera el valor numérico de las incógnitas en cuestión (x , y):

La segunda matriz esta constituida por las incógnitas a encontrar (x, y):

Y finalmente igualamos la tercer matriz; esta  contiene los datos independientes dentro del sistema:

Si prestamos atención al conjunto de matrices resultantes, podemos agruparlas a modo de ecuación, para despejar el resultado, ejemplo:

1.- Consideramos a la primer matriz como A

2.- Consideramos la segunda matriz como la incógnita a encontrar, ya que esta esta matriz únicamente tiene las incógnitas que desconocemos su valor.

3.- La ultima matriz seria C, y son los valores independientes del sistema.

Ahora simplemente despejamos la X:

1.- La variable A esta multiplicando a X, por lo que al despejarla pasa en el lado opuesto con operación contraria, es decir, dividiendo.

2.- La variable A ahora esta dividiendo a C por lo que al subirla a modo que multiplique a la C, esta cambiara su signo. Por lo tanto la variable A ahora sera con potencia menos 1.

Finalmente con esta interpretación podemos resolver el sistema de ecuaciones.

Reemplazamos los valores correspondientes en cada Letra.
NOTA: La letra A elevada a -1 hace referencia a la inversa de esa misma matriz.

Obtenemos la inversa de la matriz:

NOTA: Si no conoces el método para obtener la inversa de una matriz, te recomendamos observar nuestra entrada: Inversa de una matriz.

Posteriormente seguimos con la formula la cual nos dice, que la inversa de A multiplica a C, por lo que solo tendríamos que realizar la operación.

NOTA: Si no conoces el método de multiplicación de una matriz, te recomendamos observar nuestra entrada: Multiplicación de matrices.

Lo único que quedara por hacer sera comprobar, reemplazando los valores obtenidos en ambas ecuaciones del sistema planteado inicialmente:

Con este método, utilizando matrices, podemos resolver un sistema de ecuaciones.

UNIDAD II - ENCRIPTACIÓN CON MATRICES

UNIDAD II - INVERSA DE UNA MATRIZ