UNIDAD III - ESPACIOS VECTORIALES

Un espacio vectorial es aquel que tiene definidas dos operaciones que son la suma y producto por un escalar, se derivan de estas operaciones las siguientes propiedades:

Donde:

Dados los elementos del espacio x1, x2, x3.....xN. Y escalares a, b, c, d....

1) Si (Espacio Vectorial)

UNIDAD III - RANGO DE UN SISTEMA

El rango de un sistema de ecuaciones se define como:

El número de renglones distintos de cero.

Para verificar la condición anterior se tiene que realizar primeramente la determinante de nuestro sistema, apoyándonos mediante una matriz.

Posteriormente se verifica:

Si el determinante es diferente a 0:

- Todos los renglones son independientes y el sistema tiene solución.
- Sistema consistente.

- Rango = Numero de renglones. - Puede resolver el sistema por el método que le parezca mas cómodo.

Si el determinante es igual a 0:

- Diagonalizar la matriz.
- Sistema inconsistente.

- Rango = Numero de renglones - Numero de renglones iguales a 0.

- La solución del sistema se hace una vez diagonalizada la matriz: 

 Se dice que es una incongruencia, por lo que no tiene solución el sistema.

 Se dice que el sistema tiene una infinidad de soluciones.

EJEMPLO:

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

Obtenemos la matriz del sistema planteado:

Obtenemos el determinante de esta matriz, utilizando el método por menores:

De primer momento podemos deducir, que alguno de los renglones de este sistema son saldrán 0.

Y que el sistema es inconsistente, por lo que habrá que diagonalizarla.

 Multiplicamos, renglón 2 (R2) por -2 y Sumamos el renglón 3 (R3) reemplazando R3

 Terminamos las operaciones aquí, ya que no se puede continuar.

Finalmente interpretamos:

El sistema es inconsistente.
Su rango es de 2.

Y debido a la incongruencia el sistema no tiene solución.

NOTA: Si no manejas del todo el método de diagonalización, te invitamos a revisar nuestra entrada: Diagonalización de matrices.

UNIDAD III - METODO CRAMER

UNIDAD III - METODO GAUSS

El método de solución de un sistema de ecuaciones utilizando Gauss es mucho mas rápido y hasta cierto punto mas eficiente.

El método en concreto consiste en diagonalizar la matriz resultante del sistema de ecuaciones, dando los resultados en forma de "escalera" y de manera directa.

NOTA: Recordemos que la palabra diagonalizar, hace referencia al proceso de:
Lograr en la diagonal principal de la matriz, valores numéricos 1, y en el resto de sus posiciones 0.

Observemos un ejemplo.

SOLUCIÓN POR DIAGONALIZACIÓN

Suponga el sistema de ecuaciones:

Formaremos una matriz tomando solo los valores numéricos del sistema sin su incógnita,  es decir:

NOTA: La linea que parte a la matriz, nos indica que valores están contenidos después de la igualación.

Lo que haremos ahora sera mediante operaciones de suma o multiplicaciones, colocar en la diagonal principal (marcada en verde) valores 1.

NOTA: Observe que los valores después de la linea que parte a la matriz serán alterados por las operaciones que realicemos a la izquierda de esta.

 La  primera operación sera multiplicar el primer renglón (R1) por 1/2.

 Lo siguiente sera multiplicar R1 por (-) y Sumarle el renglon 2 (R2) y modificamos R2.

 Ahora multiplicamos R2 por -2/3 y remplazamos su valor.

 Multiplicamos R2 por -1/2 y le Sumamos el R1, modificando a R1.

 Ya tenemos los valores deseados, aquí finalizamos las operaciones.

¿Como interpretamos este resultado?
Lo único que habrá que hacer es sustituir de regreso los valores que tomamos a un inicio, es decir, le regresamos sus incógnitas a los valores:

Y despejamos:

Comprobamos los resultados, sustituyendo los valores de las incógnitas en ambas ecuaciones del sistema:

NOTA: Si aun no entiendes muy bien como es el proceso de diagonalización de una matriz, te invitamos a mirar nuestra entrada: Diagonalización de matrices.

UNIDAD III - SISTEMA DE ECUACIONES

Para resolver un sistema de ecuaciones mediante la utilización de matrices, es necesario conocer los distintos métodos de solución.

En calculo diferencial, los mas utilizados son: método por sustitución, igualación, o eliminación; según el mas cómodo a tu elección.

SOLUCIÓN POR MATRIZ

Suponga el sistema de ecuaciones siguiente:

Se procede a separar el sistema, concreta-mente en 3 matrices:

La primera considera el valor numérico de las incógnitas en cuestión (x , y):

La segunda matriz esta constituida por las incógnitas a encontrar (x, y):

Y finalmente igualamos la tercer matriz; esta  contiene los datos independientes dentro del sistema:

Si prestamos atención al conjunto de matrices resultantes, podemos agruparlas a modo de ecuación, para despejar el resultado, ejemplo:

1.- Consideramos a la primer matriz como A

2.- Consideramos la segunda matriz como la incógnita a encontrar, ya que esta esta matriz únicamente tiene las incógnitas que desconocemos su valor.

3.- La ultima matriz seria C, y son los valores independientes del sistema.

Ahora simplemente despejamos la X:

1.- La variable A esta multiplicando a X, por lo que al despejarla pasa en el lado opuesto con operación contraria, es decir, dividiendo.

2.- La variable A ahora esta dividiendo a C por lo que al subirla a modo que multiplique a la C, esta cambiara su signo. Por lo tanto la variable A ahora sera con potencia menos 1.

Finalmente con esta interpretación podemos resolver el sistema de ecuaciones.

Reemplazamos los valores correspondientes en cada Letra.
NOTA: La letra A elevada a -1 hace referencia a la inversa de esa misma matriz.

Obtenemos la inversa de la matriz:

NOTA: Si no conoces el método para obtener la inversa de una matriz, te recomendamos observar nuestra entrada: Inversa de una matriz.

Posteriormente seguimos con la formula la cual nos dice, que la inversa de A multiplica a C, por lo que solo tendríamos que realizar la operación.

NOTA: Si no conoces el método de multiplicación de una matriz, te recomendamos observar nuestra entrada: Multiplicación de matrices.

Lo único que quedara por hacer sera comprobar, reemplazando los valores obtenidos en ambas ecuaciones del sistema planteado inicialmente:

Con este método, utilizando matrices, podemos resolver un sistema de ecuaciones.

UNIDAD II - ENCRIPTACIÓN CON MATRICES

UNIDAD II - INVERSA DE UNA MATRIZ

UNIDAD II - DETERMINANTE DE MATRICES

UNIDAD II - DIAGONALIZAR UNA MATRIZ

UNIDAD II - MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

La multiplicación de matrices es un procedimiento enredoso y hasta un poco complicado de entender si no se tiene aun la practica necesaria, por lo que hay pequeños "trucos" que nos ayudaran a determinar rápidamente si se puede o no realizar una multiplicación.

1.- Lo primero es observar el tamaño de nuestra primer matriz. Y el tamaño de nuestra segunda matriz.
Una vez tengamos sus tamaños definidos, tenemos que comprobar que el numero de columnas de la primera, sea igual al numero de renglones de la segunda.

Supongamos una matriz principal de 3 x 3. La cual queremos multiplicar por una matriz de 2 x 3. Observamos lo siguiente:

Como podemos apreciar dichas matrices  no son multiplicables entre si. Por lo que únicamente se deja indicado.

Ahora supongamos unas matrices que si se pueden multiplicar, una principal de tamaño 3 x 2 y una matriz secundaria de 2 x 3.

Como se puede apreciar si se pueden multiplicar, entonces pasamos con nuestro siguiente paso.

2.- Una vez verifiquemos que si es posible multiplicar las matrices, tenemos que saber cual va a ser el tamaño de la matriz resultante una vez terminemos con nuestras operaciones.

Esto lo hacemos de la siguiente manera. Tomamos el numero de filas de la primer matriz, y lo unimos con el numero de columnas de la segunda.

La matriz resultante seria entonces de 3 x 3.

Ahora si procedemos a realizar las operaciones. Multiplicando la fila de la primera por la columna de la segunda. Pero en que orden?

Observemos que nuestra matriz resultado tiene marcadas sus posiciones, esto es muy útil ya que utilizaremos los valores de estas posiciones para saber con exactitud que fila y que columna multiplicar.

Entonces tomemos la primer posición C 1,1. Ahora el primer numero indica la primer fila de la primer matriz, y el siguiente indica la primer columna de la segunda matriz.

Si aun no te queda claro, tomemos otro valor, por ejemplo C 2,3. El resultado en esa posición sera la multiplicación de la 2 fila de la primer matriz, por la 3 columna de la segunda matriz.

En el caso de la C 3,3 sera: la 3 fila de la primer matriz por la 3 columna de la segunda matriz.

Se tiene que entender que todo esto, se va adquiriendo poco a poco con la practica continua de ejercicios, por lo que si no se entiende a la primera, no hay que desistir y continuar practicando.

Como podemos ver, y no solo en esta si no en todas las multiplicaciones de matrices. Los datos de la primer columna encajan exactamente con los datos de la segunda.

Es decir, para cada valor de la fila, tenemos la misma cantidad de valores para la columna:

Cada "enlace" de números serán multiplicados, formando grupos.

Y los resultados de cada grupo se suman, generando el valor de la posición indicada.

Hagamos el resultado de lo siguiente:

Obtener el valor de la posición C 3,2.
3 Fila de la primer matriz.
2 Columna de la segunda matriz.

Ahora formamos los grupos de cada una de ellas.

Primer "enlace" (7)(2) = 14.

Segundo "enlace" (8)(5) = 40.

Sumando los resultados de cada grupo = 54.

Ese sera el resultado de la posición C 3,2.

Para calcular las siguientes posiciones se realizara el mismo procedimiento.

Te dejamos el resultado de la matriz C, para que tu realices las multiplicaciones y las compruebes con estos resultados:

UNIDAD II - SUMA Y RESTA DE MATRICES

La suma y resta de matrices se realiza siempre y cuando el tamaño de las matrices sea el mismo.

No necesariamente estas tienen que ser cuadradas.

Supongamos una matriz A (3 x 3) y una matriz B (3 x 3). Como se puede apreciar el tamaño de estas es igual, por lo tanto se podrá sumar o restar.

Si alguna de las matrices hubiese sido de tamaño (4 x 2), estas no se habrían podido sumar, ya que no cumplirían la regla. Ser exactamente iguales en su tamaño.

Para realizar la siguiente operación, únicamente se tiene que sumar el numero, en la posición de la matriz A, por el numero, en la misma posición de la matriz B.

Es decir, si quiero sumar la posición A 1,1 , este tiene un valor de 2. Tendría que sumarle el valor de la posición B 1,1 que es de 1. Por lo tanto en la matriz resultante el valor sera de 3.

Esto se tiene que realizar con cada una de las posiciones. Una por una y de manera directa.

Lo mismo sucede con la resta, únicamente se cambia el símbolo operador por una resta.

Siguiendo el ejemplo si quiero restar la posición de A 1,3 con valor 1. Tendría que restarle el valor de B 1,3 con valor de 1. Por lo tanto el resultado sera de 0.